社区供稿 | 图解RoPE旋转位置编码及其特性

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前言

旋转位置编码RoPE (Rotary Position Embedding) 是目前大模型中广泛使用的一种位置编码，包括但不限于Llama、Baichuan、ChatGLM、Qwen等。由于计算资源限制，目前的大模型大多在较小的上下文长度中进行训练，在推理中，若超出预训练的长度，模型的性能将会显著降低。于是涌现出了许多基于RoPE的长度外推的工作，旨在让大模型能够在预训练长度之外，取得更好的效果。所以弄清楚RoPE的底层原理，对于RoPE-base模型进行长度外推至关重要。

本文主要结合苏神关于Roformer的论文与博客进行介绍。在原博客和论文中，苏神更多的是以复数的形式推导和介绍RoPE，本文将主要从向量旋转的角度对RoPE进行介绍，并且结合函数图像，以数形结合的方式帮助大家更直观地理解RoPE的各种性质。

为什么需要位置编码？

众所周知，transformer模型之所以能够取得如此卓越的效果，其中的Attention机制功不可没，它的本质是计算输入序列中的每个token与整个序列的注意力权重。假设 $q_m$ 和 $k_n$ 分别表示词向量 $q$ 位于位置 $m$ 和词向量 $k$ 位于位置 $n$ ，在未添加位置信息的时候， $q_m=q,k_n=k$ ，则两者的注意力权重计算如下:

我们会发现，在未加入位置信息的情况下，无论 $q$ 和 $k$ 所处的位置如何变化，它们之间的注意力权重 $a_{(m,n)}$ 均不会发生变化，也就是位置无关，这显然与我们的直觉不符。对于两个词向量，如果它们之间的距离较近，我们希望它们之间的的注意力权重更大，当距离较远时，注意力权重更小。

为了解决这个问题，我们需要为模型引入位置编码，让每个词向量都能够感知到它在输入序列中所处的位置信息。我们定义如下函数，该函数表示对词向量 $q$ 注入位置信息 $m$ ，得到 $q_m$ ：

则 $q_m$ 与 $k_n$ 之间的注意力权重可表示为：

绝对位置编码

我们先简单回顾一下经典的绝对位置编码，主要包括训练式位置编码与Sinusoidal位置编码。

训练式位置编码

训练式位置编码，顾名思义就是每个位置的位置向量会随着模型一起训练。假设模型最大输入长度为512，向量维度为768，我们可初始化一个512*768的位置编码矩阵，该矩阵将参与模型的训练，从而学习得到每个位置所对应的向量表示。

如何为每个位置的词向量注入位置信息呢？答案是相加，如以下公式所示，其中 $p_m$ 表示第 $m$ 个位置的位置向量：

训练式位置编码广泛应用于早期的transformer类型的模型，如BERT、GPT、ALBERT等。但其缺点是模型不具有长度外推性，因为位置编码矩阵的大小是预设的，若对其进行扩展，将会破坏模型在预训练阶段学习到的位置信息。例如将512*768扩展为1024*768，新拓展的512个位置向量缺乏训练，无法正确表示512~1023的位置信息。但早期大家对长文本输入的需求并不如现在迫切。

Sinusoidal位置编码

Sinusoidal位置编码是谷歌在Transformer模型中提出的一种绝对位置编码，它的形式如下，其中 $d$ 表示词向量的维度， $k$ 表示位置索引， $2i$ 和 $2i+1$ 表示位置向量的分量索引，例如 $p_{k,2i}$ 和 $p_{k,2i+1}$ 分别表示位置 $k$ 的位置向量的第 $2i$ 和第 $2i+1$ 个分量： $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{p}_{k, 2 i}=\sin \left(k / 10000^{2 i / d}\right) \\ \boldsymbol{p}_{k, 2 i+1}=\cos \left(k / 10000^{2 i / d}\right)\end{array}\right.$

Sinusoidal位置编码的每个分量都是正弦或余弦函数，所有每个分量的数值都具有周期性。如下图所示，每个分量都具有周期性，并且越靠后的分量，波长越长，频率越低。这是一个非常重要的性质，基于RoPE的大模型的长度外推工作，与该性质有着千丝万缕的关联，后续我们会进行分享。

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Sinusoidal位置编码还具有远程衰减的性质，具体表现为：对于两个相同的词向量，如果它们之间的距离越近，则他们的内积分数越高，反之则越低。如下图所示，我们随机初始化两个向量q和k，将q固定在位置0上，k的位置从0开始逐步变大，依次计算q和k之间的内积。我们发现随着q和k的相对距离的增加，它们之间的内积分数震荡衰减。

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因为Sinusoidal位置编码中的正弦余弦函数具备周期性，并且具备远程衰减的特性，所以理论上也具备一定长度外推的能力。

RoPE位置编码

在这里先直接抛出一个直观的结论：RoPE位置编码通过将一个向量旋转某个角度，为其赋予位置信息。

RoPE的出发点

接下来进入今天的主角RoPE位置编码。在绝对位置编码中，尤其是在训练式位置编码中，模型只能感知到每个词向量所处的绝对位置，并无法感知两两词向量之间的相对位置。对于Sinusoidal位置编码而言，这一点得到了缓解，模型一定程度上能够感知相对位置。

对于RoPE而言，作者的出发点为：通过绝对位置编码的方式实现相对位置编码。回顾我们此前定义的位置编码函数，该函数表示对词向量 $q$ 添加绝对位置信息 $m$ ，得到 $q_m$ ： $q_m=f(q,m)$

RoPE希望 $q_m$ 与 $k_n$ 之间的点积，即 $f(q,m)·f(k,n)$ 中能够带有相对位置信息 $(m-n)$ 。那么 $f(q,m)·f(k,n)$ 如何才算带有相对位置信息呢？只需要能够将 $f(q,m)·f(k,n)$ 表示成一个关于 $q$ 、 $k$ 、 $m-n$ 的函数 $g(q,k,m-n)$ 即可，其中 $m-n$ 便表示着两个向量之间的相对位置信息。

因此我们建模的目标就变成了：找到一个函数 $f(q,m)$ ，使得如下关系成立:

二维位置编码

为了简化问题，我们先假设词向量是二维的。作者借助复数来进行求解，在此我们省略求解过程，直接抛出答案，最终作者得到如下位置编码函数，其中 $m$ 为位置下标， $\theta$ 为一个常数： $f(q, m)=R_mq=\left(\begin{array}{cc}\cos m \theta & -\sin m \theta \\ \sin m \theta & \cos m \theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}q_0 \\ q_1\end{array}\right)$ 为了更好地理解上面的函数，我们先简单复习一下线性代数中的旋转矩阵。在二维空间中，存在一个旋转矩阵 $M(\theta)$ ，当一个二维向量左乘旋转矩阵时，该向量即可实现弧度为 $\theta$ 的逆时针旋转操作。 $M(\theta)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$

我们以二维向量 $(1,0)$ 为例，将其逆时针旋转45度，弧度为 $\pi/4$ ，将得到新的二维向量 $\left(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2 \right)$ ，向量的模长未发生改变，仍然是1。计算过程如下：

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回看我们求解得到的位置编码函数 $f(q,m)$ ，感叹数学之美，我们得到的是一个向量旋转的函数，左侧的 $R_m$ 是一个旋转矩阵， $f(q,m)$ 表示在保持向量 $q$ 的模长的同时，将其逆时针旋转 $m\theta$ 。这意味着只需要将向量旋转某个角度，即可实现对该向量添加绝对位置信息，这就是旋转位置编码的由来。

我们进一步验证RoPE是否能通过绝对位置编码的方式实现相对位置编码。当我们求两个向量之间的点积会发现，它们的点积是一个关于 $q$ 、 $k$ 、 $m-n$ 的函数 $g(q,k,m-n)$ ，所以函数 $f(q,m)$ 实现了以绝对位置编码的方式实现相对位置编码。

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为了更加形象生动地理解旋转位置编码，我们结合图形描述如何为一个二维向量赋予位置编码。假设存在向量 $q=(1,0)$ ，位置编码函数 $f(q,m)$ 中的 $\theta$ 是一个常量，我们不妨设为1，则：

向量 $q$ 位于位置0,1,2,3时，分别将向量 $(1,0)$ 旋转0,1,2,3弧度，就可以为其赋予对应的绝对位置信息。如下图所示，只需要对向量进行旋转操作，即可对向量添加对应的位置信息。并且向量旋转具有周期性。

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到此为止，我们已经弄明白了旋转位置编码的来源、数学意义，以及它是如何使用绝对位置实现相对位置编码，大道至简，惊叹数学的优雅。

推广到多维

上述我们介绍了如何为一个二维向量赋予绝对位置信息：旋转一定的角度即可。但我们知道词向量的维度一般是几百甚至上千，如何将我们上述旋转的结论推广到多维呢？分而治之即可，我们把高维向量，两两一组，分别旋转。最终高维向量的旋转可表示成如下公式，可以认为左侧便是高维向量的旋转矩阵：

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远程衰减性

在此前的推导中，我们说过 $\theta$ 可以是一个任意常量，我们不妨将其设为1，以便查看其性质。我们随机初始化两个向量q和k，将q固定在位置0上，k的位置从0开始逐步变大，依次计算q和k之间的内积。我们发现随着q和k的相对距离的增加，它们之间的内积分数呈现出一定的震荡特性，缺乏了重要的远程衰减性，这并不是我们希望的。

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借鉴Sinusoidal位置编码，我们可以将每个分组的 $\theta$ 设为不同的常量，从而引入远程衰减的性质。这里作者直接沿用了Sinusoidal位置编码的设置， $\theta_i=10000^{-2i/d}$ 。则我们可以将高维向量的旋转矩阵更新为如下

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上式中的旋转矩阵十分稀疏，为了节省算力，可以以下面的方式等效实现：

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我们继续随机初始化两个向量q和k，将q固定在位置0上，k的位置从0开始逐步变大，依次计算q和k之间的内积。我们发现随着q和k的相对距离的增加，它们之间的内积分数呈现出远程衰减的性质，这正是我们希望的。

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在原始的RoPE中，沿用了Si‍‍nusoidal位置编码的设置，令 $\theta_i=10000^{-2i/d}$ ，但 $\theta_i$ 一定要取 $10000^{-2i/d}$ 吗？我们继续深入探讨一下 $\theta_i=base^{-2i/d}$ 中base的取值的影响。依然结合图像来进行说明，此次我们初始化两个全一向量q和k（为了让图像显得不那么杂乱‍‍），将q固定在位置0上，k的位置从0开始逐步变大，依次计算q和k之间的内积。当我们将base取不同的值的时候，q和k的内积随着相对位置变化趋势如下图。

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‍‍如上图我们可以总结得到一些规律，base的不同取值会影响注意力远程衰减的程度。当base大于500时，随着base的提升，远程衰减的程度会逐渐削弱。但太小的base也会破坏注意力远程衰减的性质，例如base=10或100时，注意力分数不再随着相对位置的增大呈现出震荡下降的趋势。更极端的情况下，当base=1时，其实也就是上面我们提到的，将所有 $\theta$ 都设为1的情况，将完全失去远程衰减特性，如下图所示。

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对于base的性质的研究，与大模型的长度外推息息相关，如NTK-Aware Scaled RoPE、NTK-by-parts、Dynamic NTK等长度外推方法，本质上都是通过改变base，从而影响每个位置对应的旋转角度，进而影响模型的位置编码信息，最终达到长度外推的目的。目前大多长度外推工作都是通过放大base以提升模型的输入长度，例如Code LLaMA将base设为1000000，LLaMA2 Long设为500000，但更大的base也将会使得注意力远程衰减的性质变弱，改变模型的注意力分布，导致模型的输出质量下降。如下图所示。

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在本文中，我们暂且不对长度外推工作展开介绍，后续我们将专门写一篇文章分享各种主流的长度外推方法。

结语

RoPE位置编码，以向量旋转这种简单巧妙的方式，实现了绝对位置编码，并且具备相对位置编码的能力。RoPE目前广泛应用于各种大模型，包括但不限于Llama、Baichuan、ChatGLM、Qwen等。基于RoPE的长度外推工作不断涌现，并且获得了非常优秀的效果。如果当前你需要研究大模型的长度外推工作，那么弄清楚RoPE的底层原理则为一门必修课。

后续我们也将继续以图解的方式，对现有的长度外推工作进行分享介绍。

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